những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt

Trước hết, tác giả muốn cùng người đọc phân tích các lỗi thường gặp khi đặt ví dụ trong IELTS Writing task 2. Có thể chia các cách lấy ví dụ trong IELTS Writing sai lầm thành các trường hợp chính sau đây: Sử dụng ví dụ mang tính riêng tư không đúng cách. Sử dụng ví dụ Hòa chung không khí hân hoan trường THPT Bình Xuyên (huyện Bình Xuyên, Vĩnh Phúc) long trọng tổ chức lễ khai giảng năm học mới 2022 - 2023. 17 Nhì, 26 Ba, 52 KK. 1 Giải nhì Olympic Ngữ văn (ĐHQG), 1 KK Giải nhì Olympic Tiếng Anh (ĐHQG). 1 giải Ba Tin học trẻ cấp Tỉnh. Những sai Tập thể dục nhiều. Đa số chúng ta đều tin rằng giảm cân là một phép toán đơn giản ăn ít đi, tập nhiều lên. Tuy nhiên, mọi thứ không đơn giản như thế. Một trong những nguyên nhân phổ biến nhất khiến dù có tập luyện đều đặn mà vẫn không giảm được cân nào là Giáo án Đại số 10 - Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiết 5: Các phép toán tập hợp. 2 trang | Lượt xem: 908 | Lượt tải: 0. Sáng kiến kinh nghiệm - Khắc phục một số sai lầm cho học sinh lớp 10 khi giải phương trình và bất phương trình - Lê Thanh Nhàn Qua nhiều năm giảng dạy môn toán 6 tôi nhận thấy rằng có nhiều kiến thức tuy không khó nhưng khi làm bài các em hay gặp nhiều sai lầm khi giải toán và những sai lầm này cứ lặp đi lặp lại khi học các lớp tiếp theo. Xuất phát từ thực tế trên, để giúp học sinh khắc Leute In Der Umgebung Kennenlernen App. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 6 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN Người thực hiện Lê Thị Hương Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực môn Toán. THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC trang A MỞ ĐẦU 3 I. Lí do chọn đề tài 3 II. Mục đích nghiên cứu 3 tượng nghiên cứu. 3 IV. Phương pháp nghiên cứu 3 -4 B NỘI DUNG 4 I. Cơ sở lí luận 4 II. Thực trạng 4 pháp thực hiện 4-10 IV. Hiệu quả của sáng kiến 10 PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 10-11 A MỞ ĐẦU DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến “ Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân”. ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. III. ĐÔI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. -Học sinh Trường THPT Triệu Sơn 6. -GV Giảng dạy bộ môn Toán. -Phạm vi nghiên cứu Tính tích phân thường gặp. + Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. +Thực nghiệm sư phạm B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ. Học sinh tính tích phân một cách máy móc theo định nghĩa,các tính chất và các phương pháp tính tích phân . PHÁP THỰC HIỆN. Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân Bài tập minh hoạ Bài 1 Tính tích phân I = ; * Sai lầm thường gặp I = = =- =- -1 = - * Nguyên nhân sai lầm Hàm số y = không xác định tại x= -1 suy ra hàm số không liên tục trên nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên. * Lời giải đúng Hàm số y = không xác định tại x= -1 suy ra hàm số không liên tục trên do đó tích phân trên không tồn tại. * Chú ý đối với học sinh Khi tính cần chú ý xem hàm số y=fx có liên tục trên không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. * Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1/ . 2/ . 3/ 4/ Bài 2 Tính tích phân I = ; * Sai lầm thường gặp Đặt t = tan thì dx = ; = = = dt+1 = + c I = = = - do tan không xác định nên tích phân trên không tồn tại *Nguyên nhân sai lầm Đặt t = tan x tại x = thì tan không có nghĩa. * Lời giải đúng I = = = tan . * Chú ý đối với học sinh Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = ux thì ux phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên . *Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1/ 2/ ; Bài 3 Tính I = dx; * Sai lầm thường gặp I = dx = * Nguyên nhân sai lầm Phép biến đổi với x là không tương đương. * Lời giải đúng I = dx = = - * Chú ý đối với học sinh I = ta phải xét dấu hàm số fx trên rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một số bài tập tương tự 1/ I = dx ; 2/ I = dx 3/ I = dx 4/ I = dx Bài 4 Tính I = ; * Sai lầm thường gặp I = * Nguyên nhân sai lầm Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời * Lời giải đúng Đặt x+1 = tant với x=-1 thì t = 0 với x = 0 thì t = Khi đó I = * Chú ý đối với học sinh Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ trước năm 2000. Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx ; thì đặt x = sint hoặc x = cost *Một số bài tập tương tự 1/ I = 2/ I = 3/ I = Bài 5 Tính I = *Suy luận sai lầm Đặt x= sint , dx = costdt Đổi cận với x = 0 thì t = 0 với x= thì t = ? * Nguyên nhân sai lầm Khi gặp tích phân của hàm số có chứa thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = không tìm được chính xác t = ? * Lời giải đúng Đặt t = dt = Đổi cận với x = 0 thì t = 1; với x = thì t = I = = * Chú ý đối với học sinh Khi gặp tích phân của hàm số có chứa thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác. *Một số bài tập tương tự 1/ tính I = 2/tính I = Bài 6 tính I = ; * Sai lầm thường mắc I = Đặt t = x+ Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2; I = = =ln -ln = ln * Nguyên nhân sai lầm là sai vì trong chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được * Lời giải đúng xét hàm số Fx = F’x = Do đó I = = *Chú ý đối với học sinh Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 . QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM quả từ thực tiễn Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như đã nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân,cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng. Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó. 2/Kết quả thực nghiệm Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2015-2016 Bài kiểm tra trên hai đối tượng lớp 12A243học sinh không áp dụng sáng kiến và 12A444 học sinh áp dụng sáng kiến như sau xếp loại đối tượng giỏi khá tb yếu 12A4 50% 40% 10% 0% 12A2 0% 0% 40% 60% Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. LUẬN – KIẾN NGHỊ I. KẾT LUẬN Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng , THCN II. KIẾN NGHỊ Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài tập . XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng 4 năm 2017 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết không sao chép nội dung của người khác TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Kiến thức cơ bản giải tích 12 Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002 2. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp Nguyễn Cam – NXB Trẻ 3. Phương pháp giải toán Tích phân Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục 4. Sách giáo khoa Giải tích 12 Ngô Thúc Lanh Chủ biên – NXB GD – 2000 5. Phương pháp giải toán Tích phân Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005 6. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên tác giảLê Thị Hương Chức vụ và đơn vị công tácGiáo viên Trường THPT Triệu Sơn 6. TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh... Kết quả đánh giá xếp loại A, B, hoặc C Năm học đánh giá xếp loại 1. Nhìn nhận các bài toán bất đẳng thức bằng “ Con mắt” lượng giác. Tỉnh C 2013-2014 - Cô Thư cho hay trong đề thi vào lớp 10 môn Toán có sự phân loại rõ học sinh khá giỏi từ mức điểm 7,5; 8; 8,5... Để đạt được kết quả cao, học sinh cần nắm chắc kiến thức và tránh được những sai lầm đáng tiếc. Với kinh nghiệm chấm thi vào 10 nhiều năm gần đây, theo cô Thư, một số lỗi cơ bản học sinh thường gặp trong quá trình làm bài đó là đọc sai đề bài, bỏ sót yêu cầu bài toán, tính toán sai, vẽ hình sai, nhớ nhầm công thức, định lý hoặc trình bày vắn tắt, bỏ qua bước dẫn đến mất điểm. Cô Minh Thư chỉ ra một số lỗi theo từng chuyên đề, cụ thể như sau Với dạng toán rút gọn biểu thức, trong đề thi nằm ở câu 1, khi biến đổi các học sinh cần chú ý đến điều kiện xác định của biểu thức. “Câu này học sinh sẽ thường làm tốt 2 ý đầu; ý cuối 0,5 điểm để phân loại học sinh đạt mức 8 điểm, thường các em sẽ gặp khó khăn. Ý này hay gặp ở một số dạng bài như tìm giáo trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị nguyên của biểu thức,... Với dạng giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình, rất nhiều học sinh quên điều kiện, đặt sai điều kiện khi gọi ẩn hoặc có thể các em không đọc kỹ đề nên các đơn vị đại lượng chưa thống nhất với nhau, khi kết luận chưa đối chiếu điều kiện nên kết luận sai. “Với dạng toán này các em nên ôn tập theo từng dạng bài cụ thể như bài toán chuyển động, bài toán làm chung công việc, bài toán năng suất...”, cô Thư tư vấn. Cô Nguyễn Thị Minh Thư, Tổ trưởng Tổ Toán Trường THCS & THPT Khương Hạ. Còn với dạng bài đồ thị hàm số, phương trình bậc hai, học sinh có thể mắc phải một số lỗi trình bày, tính toán sai, nhớ nhầm công thức. Ý này thường được hỏi tìm điều kiện của tham số m để thỏa mãn 1 đẳng thức dựa vào định lý Vi-et hoặc điều kiện đường thẳng cắt Parabol thoả mãn yêu cầu nào đó,… Với ý này để phân loại học sinh ở mức trên 8 điểm, các em cần nắm vững một số dạng bài quen thuộc. Về phần hình học, thường các học sinh làm tốt 2 ý đầu, tuy nhiên vẫn cần chú ý ở một số điểm như Vẽ hình chính xác, ký hiệu đầy đủ, chỉ đường tròn mới được vẽ bằng bút chì, các đường khác phải vẽ cùng màu với chữ viết. Khi thêm điểm phải giới thiệu điểm đó trong bài. Không vẽ hình vào các trường hợp đặc biệt dễ gây ngộ nhận. “Các em cũng cần trình bày bài làm một cách đầy đủ, không làm tắt các bước. Ý cuối câu hình phân loại học sinh điểm 9. Câu này mức phân loại học sinh khá cao và số đông học sinh không hoàn thành được. Ý này thường gặp ở các dạng bài chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ba điểm đồng quy, tập hợp điểm thuộc đường cố định, cực trị hình học.... Mấy năm gần đây, trong đề thi còn có thêm một ý nhỏ về phần hình học không gian. Với ý này các em cần nhớ chính xác công thức tính về thể tích, diện tích của một số hình cầu, trụ, hộp chữ nhật,...”, cô Thư chia sẻ. Câu cuối cùng của đề thi thường dùng để phân loại học sinh giỏi. Đây thường là câu khó nhất trong đề thi, phần lớn học sinh không làm được. Câu này thường gặp các dạng bài về chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. “Để đạt được kết quả cao trong kỳ thi vào 10 công lập, các thí sinh cần nắm chắc kiến thức, tập trung ôn luyện để rèn kỹ năng trình bày, giải toán và lưu ý tránh những sai lầm không đáng có”, cô Thư đưa lời khuyên và hy vọng các thí sinh sẽ có bài thi với điểm số tối đa. Thanh Hùng ghi Thủ khoa lớp 10 Hà Nội chia sẻ cách ôn tập trong tuần nước rútChỉ còn vài ngày nữa, các sĩ tử sẽ bước vào kỳ thi lớp 10 công lập tại Hà Nội. Trần Tùng Bách, thủ khoa lớp 10 năm 2021 cho rằng, thay vì “cày ngày cày đêm”, đây là lúc các thí sinh cần có chiến lược cụ thể để ôn tập hiệu quả. Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn khoa học khác. Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật, liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống. Vì thế, việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung , chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện môn Toán ở trường phổ thông, Đại số tổ hợp là nội dung không thể thiếu và đã được đưa vào trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Đại số tổ hợp không những trang bị cho học sinh khả năng suy luận cao, tính logic, chặt chẽ và chính xác mà còn là một trong những kiến thức được đưa vào thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, là nền móng để xây dựng toán xác suất trong chương trình THPT cũng như đại học. Đây thật sự là phần rất hay và phù hợp để ra dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm trong kì thi THPT quốc gia hiện nayHơn nữa bài tập phần Đại số Tổ hợp mang tính phân loại học sinh, không đòi hỏi nhiều kiến thức, nhưng yêu cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo. Dạy Toán là dạy kiến thức, tư duy, tính cách do đó khi dạy Đại số tổ hợp, ngoài việc đưa ra kiến thức và phương pháp giải học sinh còn phải tìm tòi nhiều cách giải khác nhau, tìm ra những sai lầm trong giải toán, mở rộng bài toán mới để giúp học sinh phát triển kĩ năng, tư duy, sáng tạo và vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán, cũng như trong cuộc khác rèn luyện kỹ năng giải Toán Tổ hợp còn góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo quan điểm "lấy học sinh làm trung tâm". Theo đó thầy chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn để học sinh tự tìm tòi phát hiện ra kết quả, phát hiện ra mâu thuẫn và sai lầm trong quá trình giải quyết một bài toán .Với những lí do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khắc phục một số sai lầm thường gặp cho học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp”. Trong sáng kiến kinh nghiệm này rất mong được sự ủng hộ và góp ý nhiệt thành của quý đồng nghiệp, nhằm biến nó thành một công cụ đích thực cho việc dạy và học toán Đại số tổ Bạn đang xem tài liệu "SKKN Khắc phục một số sai lầm thường gặp cho học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên 1. MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn khoa học khác. Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật, liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống. Vì thế, việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung , chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Trong môn Toán ở trường phổ thông, Đại số tổ hợp là nội dung không thể thiếu và đã được đưa vào trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Đại số tổ hợp không những trang bị cho học sinh khả năng suy luận cao, tính logic, chặt chẽ và chính xác mà còn là một trong những kiến thức được đưa vào thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, là nền móng để xây dựng toán xác suất trong chương trình THPT cũng như đại học... Đây thật sự là phần rất hay và phù hợp để ra dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm trong kì thi THPT quốc gia hiện nay Hơn nữa bài tập phần Đại số Tổ hợp mang tính phân loại học sinh, không đòi hỏi nhiều kiến thức, nhưng yêu cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo. Dạy Toán là dạy kiến thức, tư duy, tính cách do đó khi dạy Đại số tổ hợp, ngoài việc đưa ra kiến thức và phương pháp giải học sinh còn phải tìm tòi nhiều cách giải khác nhau, tìm ra những sai lầm trong giải toán, mở rộng bài toán mới để giúp học sinh phát triển kĩ năng, tư duy, sáng tạo và vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán, cũng như trong cuộc sống. Mặt khác rèn luyện kỹ năng giải Toán Tổ hợp còn góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo quan điểm "lấy học sinh làm trung tâm". Theo đó thầy chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn để học sinh tự tìm tòi phát hiện ra kết quả, phát hiện ra mâu thuẫn và sai lầm trong quá trình giải quyết một bài toán . Với những lí do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khắc phục một số sai lầm thường gặp cho học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp”. Trong sáng kiến kinh nghiệm này rất mong được sự ủng hộ và góp ý nhiệt thành của quý đồng nghiệp, nhằm biến nó thành một công cụ đích thực cho việc dạy và học toán Đại số tổ hợp. Mục đích nghiên cứu - Đối với giáo viên Trên cơ sở lí luận phương pháp dạy học, đề tài đi sâu đề xuất một số biện pháp nhằm khắc phục sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp. - Đối với học sinh Thông qua các con đường, biện pháp phát triển tính tích cực, độc lập trong nhận thức, đặc biệt tư duy giúp các em khắc phục, tránh một số nhầm lẫn đáng tiếc khi giải bài tập phần Đại số tổ hợp. Từ đó kích thích hứng thú học tập, khơi dậy xúc cảm đối với bộ môn. Đối tượng nghiên cứu - Tìm hiểu lí luận dạy học nói chung, dạy học phần Đại số Tổ hợp nói riêng để làm rõ nội hàm các khái niệm. - Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Đại số lớp 11 phần Đại số tổ hợp. - Đề xuất một số biện pháp nhằm khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải toán Đại số tổ hợp. Phương pháp nghiên cứu - Về lí thuyết Đề tài sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó chủ yếu là + Phương pháp nghiên cứu tổng hợp để tiếp cận nghiên cứu, đi sâu vào các vấn đề về lí luận dạy học nói chung, dạy phần Đại số tổ hợp nói riêng để lí giải rõ từng khái niệm, từng bài toán được đề cập đến trong đề tài. + Phương pháp so sánh để tìm ra những nét chung và những nét nổi trội khi vận dụng các biện pháp nhằm khắc phục sai lầm học sinh khi giải Toán Đại số tổ hợp. - Về thực tiễn + Dự giờ đồng nghiệp dạy cùng khối 11 chương trình ban nâng cao. + Thực nghiệm sư phạm thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung phần Đại số tổ hợp do bản thân trực tiếp đứng lớp ở trường Trung học phổ thông Vĩnh Lộc. + Sử dụng phương pháp thống kê toán học trên cơ sở so sánh các giá trị thu được giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá hiệu quả của những biện pháp dạy học mà đề tài đưa ra. + Trong quá trình giảng dạy giáo viên dự đoán, tổng hợp được các sai lầm của học sinh thường mắc phải thông qua các bài toán đã được phân theo dạng, phân tích chỉ rõ nguyên nhân dẫn đến sai lầm từ đó lựa chọn phương án giải phù hợp nhất. Cuối cùng trình bày lại thông qua các ví dụ cụ thể. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Định nghĩa chỉnh hợp, tổ hợp và công thức tính số chỉnh hợp, tổ hợp. Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục bậc THPT. Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh khối 11 hệ THPT trong việc học tập bộ môn đại số và giải tích. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua quá trình theo dõi học tập của học sinh và từ các kết quả của các kì thi gần đây. Tôi nhận thấy học sinh rất yếu kém về loại bài tập này. Sự yếu kém đó thể hiện ở nhiều khía cạnh. Một là Học sinh có thể đưa ra được kết quả đúng nhưng lời giải sai về mặt lập luận và logíc. Hai là Khi gặp bài toán có sự lựa chọn một số ít trong nhiều thì học sinh thường lúng túng trong việc chọn chỉnh hợp hay tổ hợp, mà đã có sự lựa chọn công thức thì phải biết đối với bài toán nào sử dụng công thức này, bài toán nào sử dụng công thức kia. Và không thể thiếu một phương pháp giải mang lại tính ưu việt là sử dụng bài toán gián tiếp vậy khi đó sai lầm mắc phải là gì? Ba là Khi gặp bài toán về thành lập số đặc biệt có mặt chữ số 0 thì đa phần học sinh rất lúng túng vì vị trí nó không thể nằm ở số hạng đầu nên việc chọn cách giải sẽ rất khó khăn. Bốn là Một số bài toán tương tự nhau về mặt hình thức nhưng chỉ thay đổi về bố cục lại không thể áp dụng cho bài toán trước được nên vấn đề nắm vững phương pháp giải từng dạng bài toán là vấn đề nan giải. Đề tài này chủ yếu khắc phục một số sai lầm thường mắc phải của học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp bằng cách giúp các em nắm vững hai khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp và phân biệt sự giống nhau và khác nhau giữa hai khái niệm này. Thông qua các ví dụ trình bày cách giải sai để các em tránh được hiểu các khái niệm trên một cách hình thức. Việc trình bày lời giải đúng để giúp các em biết áp dụng định nghĩa vào giải quyết bài tập một cách chính xác. Phần cuối tôi có một số bài toán áp dụng để các em rèn luyện và qua bài kiểm tra kì đánh giá được sự hiểu biết của các em, từ đó có kế hoạch bổ sung. Đề tài đã được thực hiện qua nhiều khóa học và có kết quả tốt, giúp các em nâng cao được kỹ năng giải quyết bài toán Đại số tổ hợp. Nhưng chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết mong các đồng nghiệp giúp đỡ để hoàn chỉnh nhằm giúp học sinh học tập tốt hơn. Cách giải quyết vấn đề Một số sai lầm thường gặp Giáo viên sẽ dự đoán các sai lầm của học sinh từ đó đưa ra các ví dụ, bài tập dưới dạng bài tập tự luận hoặc bài tập trắc nghiệm với các phương án nhiễu là các sai lầm mắc phải, thông qua đó vừa phân tích chỉ ra các lỗi vừa rèn luyện cho các em kĩ năng làm bài. Sau đây tôi xin được trình bày một số ví dụ, trong từng ví dụ phân tích chỉ rõ sai lầm như thế nào dẫn đến lời giải sai, chốt lại lời giải đúng. Sai lầm giữa khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp Trước tiên chúng ta cùng nhắc lại định nghĩa chỉnh hợp, tổ hợp và sự khác nhau giữa hai khái niệm này a. Định nghĩa chỉnh hợp Cho một tập hợp có phần tử và một số nguyên với khi lấy ra phần tử của và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập của phần tử của. b. Định nghĩa tổ hợp Cho một tập hợp có phần tử và một số nguyên với. Mỗi tập con của có phần tử gọi là một tổ hợp chập của phần tử của. c. Phân biệt Cần phân biệt rõ cho học sinh các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, cụ thể Từ định nghĩa cho một tập A có n phần tử - Mỗi một hoán vị là một bộ xắp xếp tất cả n phần tử của A - Mỗi một chỉnh hợp là một bộ sắp xếp các phần tử của một tập con của tập A. Do đó một hoán vị chập n của tập A là một chỉnh hợp chập n của tập A . Sự giống nhau và khác nhau của chỉnh hợp chập của và tổ hợp chập của - Giống nhau Đều là một tập con gồm phần tử của tập A. - Khác nhau Mỗi một chỉnh hợp chập của phần tử là một tập con gồm phần tử có sắp thứ tự, kể cả thứ tự của một tập phần tử Mỗi một tổ hợp chập của phần tử là một tập con gồm phần tử không kể thứ tự của một tập phần tử. Tức là muốn hình thành các chỉnh hợp chập của phần tử ta có thể tiến hành theo 2 bước liên tiếp Bước 1 Tìm tất cả các tổ hợp chập của . Bước 2 Tìm tất cả các hoán vị trong từng tổ hợp. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử của A, lớn hơn số tổ hợp chập k của n phần tử của A,. d. Áp dụng Ví dụ 1 Một đội bóng có 11 người trực tiếp thi đấu Kể cả thủ môn.Trong một trận đấu trung kết với 120 phút thi đấu đội phải đá luân lưu để phân thắng bại. Hỏi huấn luyện viên có bao nhiêu cách chọn ra 5 người để thực hiện loạt đá luân lưu? Một học sinh đã giải như sau Chọn 5 người từ 11 người trong đội bóng. Vậy số cách chọn là Học sinh đã giải sai kết quả. Em hãy phân tích sai lầm mà học sinh đã mắc phải trong lời giải trên? Giáo viên hướng dẫn và giúp học sinh chốt lại nguyên nhân sai lầm Khi chọn 5 người từ 11 người để thực hiện loạt đá luân lưu, trong 5 người được chọn cần phải ưu tiên chọn thứ tự đá lần 1, 2, 3, 4, 5. Vậy kết quả phải là hay Qua ví dụ này giúp các em khắc sâu sự khác biệt giữa hai khái niệm đồng thời dẫn dắt học sinh có được lối tư duy sâu khi áp dụng Ví dụ 2 Bài 58 SGK Đại số và giải tích 11- Nâng cao Trong không gian cho tập hợp 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập đã cho?[8] Sai lầm Cứ 4 đỉnh không đồng phẳng thì lập thành một tứ diện nên số tứ diện lập được từ 4 đỉnh là Nguyên nhân Cách tính này đã lặp 4! lần số tứ diện vì bốn đỉnh của tứ diện không có tính xếp thứ tự chẳng hạn như ABCD và ABDC là một tứ diện. Như vậy sai lầm này do chưa phân biệt rõ tổ hợp, chỉnh hợp hoặc do sai kiến thức hình học Lời giải đúng Cứ 4 điểm không đồng phẳng đã cho thì tạo được một tứ diện. Ngược lại, mỗi một tứ diện có 4 đỉnh thuộc tập đã cho tương ứng với một tập con gồm 4 phần tử của tập đã cho Vì 4 đỉnh của một tứ diện không có tính sắp thứ tự. Do đó số tứ diện lập được từ 9 điểm đã cho là . Ví dụ 3 Trong một hộp có 4 viên bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Cần chọn ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số 4 viên đó không có đủ 3 màu? Sai lầm 1 Số cách chọn 4 viên không có màu trắng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu vàng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu đỏ là cách. Theo quy tắc cộng có cách. Nguyên nhân sai lầm 1 Cách giải trên sai ở chỗ đã tính lặp lại 2 lần số các viên cùng một màu đỏ hoặc cùng màu trắng hoặc cùng màu vàng. Sai lầm 2 Số cách chọn 4 viên chỉ có một màu Số cách chọn 4 viên có 2 màu Số cách chọn 4 viên không có màu trắng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu vàng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu đỏ là cách Vậy có + Nguyên nhân sai lầm 2 Cách giải này thay cho việc trừ đi số cách chọn lặp lại 2 lần số viên cùng một màu đỏ hoặc cùng màu trắng hoặc màu vàng thì học sinh lại cộng thêm vào Lời giải đúng Cách 1 Chọn trực tiếp - Số cách chọn 4 bi cùng một màu là - Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu đỏ và trắng là ++ - Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu trắng và vàng là ++ - Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu vàng và đỏ là ++ Theo quy tắc cộng có cách. Cách 2 Chọn gián tiếp - Số cách chọn tuỳ ý 4 viên là cách. - Tính số cách chọn 4 viên đủ 3 màu + Trong đó 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng l có cách + Trong đó 1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng l có cách + Trong đó 1 đỏ, 1 trắng, 2 vàng l có cách - Số cách chọn cần tìm là -++= 645 cách Cách 3 - Số cách chọn 4 viên có 2 màu Số cách chọn 4 viên không có màu trắng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu vàng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu đỏ là cách - Số cách chọn 4 viên chỉ có một màu = 645 Vì trong cách chọn 4 viên 2 màu đã lặp lại 2 lần số bi có cùng 1 màu. Vậy có - = 645 Ví dụ 4 Bài tập toán đại số tổ hợp -TS Nguyễn Văn Nhân Một tổ có 8 học sinh nam, 7 học sinh nữ. Chọn ra 1 nhóm gồm 6 HS sao cho có ít nhất 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn? Lời giải 1 có vẻ “hay” vì rất ngắn gọn và “độc đáo” Bước 1 chọn ra 2 nữ vì có ít nhất 2 nữ có cách Bước 2 Chọn 4 bạn còn lại trong 13 bạn có cách khi đó 6 bạn còn lại trong 13 bạn được chọn luôn thoả mãn có ít nhất 2 nữ. Vậy có . = 15015 cách Lời giải 2 trực tiếp chia cụ thể các trường hợp TH1 2 nữ, 4 nam cách TH2 3 nữ, 3 nam cách TH3 4 nữ, 2 nam cách TH4 5 nữ, 1 nam cách TH5 6 nữ cách Vậy có tất cả + + + + = 4585 cách Lời giải 3 gián tiếp Bước 1 chọn 6 HS bát kì cách Bước 2 chọn 5 HS nam, 1 HS nữ cách Bước 3 chọn 6 HS nam cách Vậy số cách chọn thoã mãn là – + = 4585 cách Nhận xét Hai lời giải 2 và 3 là lời giải đúng đã được phân tích rõ ràng. Lời giải 1 xem có vẻ hợp lý, ngắn gọn,nhưng tại sao đáp án không như lời giải 2 và 3? Vậy sai lầm ở đâu? Phân tích Sai lầm là học sinh đã phân biệt thứ tự vì chọn liên tiếp Tôi đưa ra sơ đồ minh hoạ cho lời giải 1 Nếu 8 nam có tên lần lượt A, B, C, D, E, F, G, H. 7 nữ có tên lần lượt K, L, M, N, O, P, Q + Giả sử nếu chọn ra 2 nữ K, L và chọn 4 người còn lại bất kì trong 13 người còn lại là A, B, M, N. + Lần sau chọn 2 nữ M, N thì chọn 4 người còn lại bất kì trong 13 người còn lại là A, B, K, L Dấu hiệu học sinh sai lầm là có 1 lần chọn sau sẽ trùng với lần chọn trước với 6 người K, L, A, B, M, N. Kết luận Cách này không sử dụng được vì bị trùng lặp. Vậy Tổ hợp và chỉnh hợp rất dễ phân biệt, nếu bài toán yêu cầu tính thứ tự thì ta dùng chỉnh hợp, còn không yêu cầu thứ tự tùy ý thì ta dùng tổ hợp. Bên cạnh những bài toán có nhiều lời giải đúng là rất nhiều bài toán có nhiều sai lầm có thể mắc phải. Sau đây là 3 ví dụ và tôi đưa ra dưới dạng bài trắc nghiệm với 3 phương án sai xuất phát từ 3 sai lầm và một phương án đúng với nhiều cách giải. Ví dụ 5 Một nhóm học sinh có 5 bạn. Giáo viên cần chọn ra 3 học sinh thì có số cách chọn là B. .. C. . D.. Lời giải 1 Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 5 bạn là số tổ hợp chập 3 của 5. Số cách chọn là = 10 cách Lời giải 2 Đầu tiên chỉ chọn 1 bạn thì có cách. Tiếp theo chọn 1 bạn trong 4 bạn còn lại có cách Cuối cùng thì chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn thì có cách Vậy có .. = = 60cách Lời giải 3 Đầu tiên chỉ chọn 1 bạn thì có cách. Tiếp theo chọn 2 bạn còn lại trong 4 bạn thì có cách Vậy có . = = 30 cách Lời giải 4 Đầu tiên chỉ chọn 2 bạn thì có cách. Tiếp theo chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn thì có cách Vậy có . = = 30 cách Nhận xét Mới nhìn đều thấy các lời giải tương đối hợp lý nhưng các kết quả lại khác nhau. Vậy đâu là lời giải đúng? Phân tích Lời giải 1 Tất nhiên là lời giải đúng. Vậy sai lầm là gi khiến cho các lời giải còn lại đều sai? Lời giải 2 Sai lầm là học sinh đã phân biệt thứ tự, trong khi đề bài không yêu cầu tính thứ tự. Giả sử 5 bạn tên là A, B, C, D, E. Đầu tiên chọn 1 bạn trong 5 bạn, dĩ nhiên là có 5 cách. Nếu lần đầu chọn A thì còn lại B, C, D, E, lần 2 chọn B còn lại C, D, E, lần 3 chọn C thì ta có 3 bạn là A, B, C. Nếu lần đầu chọn B thì còn lại A, C, D, E, lần 2 chọn C còn lại A, D, E, lần 3 chọn A thì ta có 3 bạn là A, B, C. . Như vậy số cách chọn ra 3 bạn A, B, C đã bị lặp. Các lời giải còn lại cũng giải thích tương tự. Vậy các lời giải 2,3,4 đã đưa yêu cầu thứ tự vào nên dẫn đến sai. Ví dụ 6 Sai lầm thường gặp- Trần Phương Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ để ghép thành 3 đôi để biểu diễn văn nghệ. Số cách chọn là A.. B.. . D. 3!.. Giải Lời giải 1 Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là cách Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là . cách Lời giải này mới chỉ chọn 6 học sinh gồm 3 nam, 3 nữ. Lời giải 2 Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là cách Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là .cách Lời giải thứ hai sai lầm ở chỗ sắp thứ tự giữa các học sinh và thiếu cách ghép đôi 1 nam 1 nữ Lời giải 3 Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là cách Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là cách Số cách ghép đôi là 3!.3 Do đó số cách chọn 6 học sinh gồm 3 nam và 3 nữ ghép thành đôi là 3!.3!. . cách Có rất nhiều học sinh mắc phải sai lầm này kể cả khi đọc lời giải nghe có vẻ hợp lí. Tuy nhiên ở đây số cách ghép đôi đã bị lặp lại. Lời giải 4 Lời giải đúng Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là cách Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là cách Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là . cách Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép giữa các đôi nhảy với nhau là hoán vị của 3 học sinh nam hoặc 3 học sinh nữ Vậy số cách chọn thoả mãn là 3!.. cách Nếu như không đưa ra và phân tích các cách giải thì nhìn vào mỗi cách trên cách giải nào cũng có vẻ hợp lí có phương án để lựa chọn đối với câu hỏi trắc nghiệm. Đồng thời đưa ra những cách làm sai lầm chốt lại phương án đúng giúp học sinh dễ dàng nhận ra những thiếu sót, sai lầm mắc phải từ đó các em sẽ ghi nhớ tốt. Ví dụ 7 Lớp 11A2 Trường THPT Vĩnh Lộc có 44 học sinh. Cần bầu một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 2 ủy viên. Số cách lập ra ban cán sự là A. B. C. D. Sai lầm thường gặp Sai lầm 1 Học sinh hiểu đơn giản chọn 4 bạn từ 44 bạn nên số cách lập ra ban cán sự gồm 4 người Sai lầm 2 Chọn lớp trưởng có , chọn một lớp phó có , chọn ủy viên thứ nhất có , chọn ủy viên thứ 2 có .Vậy số cách chọn theo yêu cầu là Nguyên nhân Khi chọn 1lớp trưởng, 1 lớp phó thì có thứ tự nhưng khi chọn 2 ủy viên lại không cần tứ thứ tự nên số cách chọn 2 ủy viên là hoặc Sai lầm 3 Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó có cách chọn; Chọn 2 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại có Theo quy tắc nhân có cách. Nguyên nhân sai lầm Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự. Chẳng hạn khi đã chọn 2 học sinh A và B để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó thì có hai cách A làm lớp trưởng còn B làm lớp phó và B làm lớp trưởng còn A làm lớp phó. Nên mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 2 của 40 phần tử do đó số cách chọn là = Lời giải đúng Trước tiên để định hướng cách giải cho học sinh, giáo viên cần phân tích Để chọn được một ban cán sự cần thực hiện 3 công đoạn chọn một lớp trưởng, chọn một lớp phó và chọn 2 uỷ viên. Do đó ta có lời giải Cách 1 Công đoạn 1 Chọn 1 lớp trưởng có 44 cách. Công đoạn 2 Chọn 1 lớp phó trong 43 học sinh sau khi đã chọn lớp trưởng có 43 cách. Công đoạn 3 Chọn 2 uỷ viên trong 42 học sinh còn lại 3 uỷ viên cần chọn không có thứ tự nên dùng tổ hợp có Theo quy tắc nhân có cách Cách 2 Để chọn được một ban cán sự có thể thực hiện 2 công đoạn chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng 1 làm lớp phó và chọn 2 uỷ viên. Do đó ta có lời giải Công đoạn 1 Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là = Công đoạn 2 Chọn 2 học sinh trong 42 học sinh còn lại làm uỷ viên, cách chọn này không có thứ tự nên số cách chọn là . Vậy số cách chọn ban đại diện lớp là. cách. Cách 3 Để chọn được một ban cán sự cũng có thể thực hiện 2 công đoạn. Trước tiên chọn cùng 1 lúc 4 học sinh sau đó rồi mới phân công chức vụ. Do đó ta có lời giải Chọn 4 học sinh để làm một ban cán sự cách chọn này không có thứ tự nên số cách chọn là cách. Với mỗi cách chọn 4 học sinh trên chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là =12 cách, tiếp theo chọn 2 học sinh còn lại làm uỷ viên có 1 cách chọn. Theo quy tắc nhân có 1 cách. Bài tập tương tự Bài 1 Sai lầm thường gặp - Trần PhươngCần chọn từ 9 học sinh nữ và 7 học sinh nam ra 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy nam- nữ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép? Một học sinh đã giải như sau Số cách chọn 3 nam là cách Số cách chọn 3 nữ là cách. Số cách chọn 3 cặp nhảy là cách Học sinh đã giải sai, em hãy chỉ ra sai lầm ở đâu và giải lại cho đúng? HD Quá trình chọn 3 nam từ 7 nam và 3 nữ từ 9 nữ không cần tính đến thứ tự. Lời giải đúng là Së gi¸o dôc vµ µo t¹o Thanh hãa TR¦êNG thpt Hµm rång -˜˜&™™- S¸ng kiÕn kinh nghiÖm NGHI£ N CøU MéT Sè SAI LÇM KHI GI¶I TO¸N VECT¥ Vµ TO¹ §é Giáo viên Lê Thị Thủy Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực môn Toán Thanh hãa - 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC.. 1 1. MỞ ĐẦU.. 2 Lý do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu 2 Đối tượng nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu 3 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM... 4 Sai lầm do không nắm vững các khái niệm, các công thức, tính chất, vị trí tương đối giữa các hình. 4 Sai lầm không xét hết các trường hợp của bài toán. 8 Sai lầm không thử lại kết quả. 11 Sai lầm khi định dạng các hình do nắm tính chất hình không vững. 13 Sai lầm khi sử dụng lời giải không chính xác. 14 3. KẾT LUẬN.. 17 Kết quả thực nghiệm.. 17 Kết quả kiểm tra. 17 Kết quả chung. 17 Bài học kinh nghiệm.. 17 Kết luận. 17 Ưu điểm.. 17 Nhược điểm 18 Hướng phát triển. 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO.. 19 1. MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới…” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…” Chương trình hình học lớp 10, học sinh được học về vectơ, các phép toán về vectơ dùng làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ gữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số. Với ý nghĩa như vậy, có thể coi phương pháp vectơ và tọa độ là phương pháp toán học cơ bản được kết hợp cùng phương pháp tổng hợp đề giải toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian. Trong số các công trình nghiên cứu về sai lầm của các học sinh trong giải toán thì số công trình đề cập tới các sai lầm của học sinh trong giải toán vectơ và tọa độ còn tương đối ít. Với các lí do nêu trên, đề tài được chọn là ”Nghiên cứu một số sai lầm khi giải Toán vectơ và tọa độ” Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh khắc phục được một số sai lầm khi giải toán vectơ và tọa độ. Có thể nói, trong sách giáo khoa chỉnh lý hiện hành, vectơ và toạ độ là phương pháp chủ đạo trong giải toán hình học, mức độ yêu cầu của tư duy rất cao, vì nhiều bài toán không cần đến hình vẽ, và có bài cũng không thể vẽ tường minh được. Đây cũng là một khó khăn đối với học sinh. Hệ thống lý thuyết về vectơ và toạ độ trong chương trình cũng khá đầy đủ để giải quyết hầu hết các dạng toán cơ bản. Tuy vậy, hệ thống bài tập còn chưa đầy đủ. Cũng có thể do thời gian phân phối cho môn học, do yêu cầu giảm tải của chương trình. Nhưng đây cũng chính là một mâu thuẫn trong thực hành kỹ năng và phương pháp cho học sinh. Vì trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng gần đây, bài tập về phần hình học cũng không phải dễ lắm, dạng bài tập cũng có điều mới lạ so với dạng bài tập sách giáo khoa. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 10 và 12 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay. Về các đường bậc hai như đường tròn và cônic, các khái niệm và tính chất khá phức tạp khi giải toán, học sinh dễ sa vào con đường phức tạp hoá bài toán nếu nhìn nhận theo góc độ thông thường, cần phải kết hợp linh hoạt được tính chất của hình học phẳng đã học ở bậc THCS thì bài toán mới gọn nhẹ. Cũng vì các lý do trên, nên học sinh thường gặp các sai lầm trong khi giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ. Chỉ rõ cho các em được những sai lầm này cũng là một cách để các em nắm lý thuyết vững hơn và hạn chế các sai lầm trong giải toán; góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê đưa ra các bài toán tổng quát. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NHỮNG SAI LẦM GẶP CỦA HỌC SINH SAU KHI GIẢI TOÁN VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Sai lầm do không nắm vững các khái niệm, các công thức, tính chất, vị trí tương đối giữa các hình. Ví dụ 1 Xác định góc giữa hai đường thẳng sau d 3x+y+3=0 và d' -x-2y+1=0. Giải Đường thẳng d có chỉ phương d=1,-3 Đường thẳng d' có chỉ phương d'=-2,1 Góc giữa d và d' là cos d , d'= Þ d,d'=1350 . Nhận xét Sai lầm ở chỗ là đã đồng nhất góc giữa hai vectơ chỉ phương với góc giữa hai đường thẳng. Hơn nữa chưa nắm vững khái niệm góc giữa hai đường thẳng là không tù. Lời giải đúng Làm tương tự trên với công thức cosd,d' =cos d , d'= Þ d,d'=450. Ví dụ 2 Cho DABC, biết A=1,1, B=-1,-1/2, C=4,-3. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. Giải Ta có phương trình AB Û 3x-4y+1=0 Phương trình AC Û 4x+3y-7=0 Phương trình hai đường phân giác góc A là Vì phân giác trong góc A, nên chọn dấu âm, do đó phương trình phân giác trong góc A là 7x-y-6=0. Nhận xét Cách giải trên được đáp số đúng, nhưng suy luận phân giác trong góc A, nên lấy dấu âm là chưa chính xác. Cách giải đúng Cách 1 Ta có phương trình AB 3x-4y+1=0 AC 4x+3y-7=0 Phương trình các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A có phương trình Û Thay tọa độ của B, C lần lượt vào vế trái của d1 thì ta được Ta có B, C nằm cùng phía đối với d1=> d1 là phân giác ngoài => d2 là phân giác trong. Vậy phương trình phân giác trong góc A là 7x-y-6=0. Cách 2 Gọi D=x,y là chân phân giác trong góc A thì ta có Þ vì là phân giác trong nên hai vectơ này ngược chiều, nếu là phân giác ngoài thì 2 vectơ này cùng chiều Û . Vậy D=2/3,-4/3. Phương trình phân giác trong góc A là AD Û 7x-y-6=0. Cách xác định chân đường phân giác trong này còn rất hữu hiệu trong không gian, vì viết phương trình phân giác trong không gian khá phức tạp. Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình là và Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua M2 ;1 ;1, vuông góc với d1 , cắt d2 . Giải Gọi P là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và vuông góc với d1 P có phương trình là 3x-2+2y-1+z-1=0 3x+2y+z-9=0. Gọi Q là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và chứa d2 . P có phương trình là 8x-3y+6z-19=0. Ta có d=P Q nên d có phương trình là Nhận xét Lời giải trên chưa chứng tỏ được điều kiện d cắt d2 .Thực tế không tồn tại đường thẳng thoả mãn bài ra vì d song song với d2. Lời giải trên là đầy đủ nếu đề bài có ngụ ý tồn tại duy nhất đường thẳng d, tuy nhiên trong trường hợp tổng quát chưa chứng tỏ chắc chắn rằng d tồn tại và d cắt d2, có thể d// d2 trong mp Q hoặc P Q. Lời giải đúng Cách 1 Sau khi tìm được P và Q như trên , xét đường thẳng d có phương trình , đường thẳng này có véc tơ chỉ phương , trong đó là véc tơ chỉ phương của d2, mặt khác điểm N2 ;3 ;2 d2 nhưng N , vậy d// d2 nên bài toán vô nghiệm. Cách2 Gọi P là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và vuông góc với d1 P có phương trình là 3x-2+2y-1+z-1=0 3x+2y+z-9=0. Gọi N= d2 P , để tìm toạ độ của N ,ta giải hệ hệ vô nghiệm d2//P bài toán vô nghiệm Ví dụ 4 Đề thi đại học khối D-2002 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P 2x-y+2=0 và đường thẳng dm m là tham sô. Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng P. Giải Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến 2 ;-1 ;0. Đường thẳng dm có véc tơ chỉ phương 1-m2m+1;-2m+12 ;-m1-m. Suy ra =32m+1. dm song song P =0 m=- Nhận xét Đáp số tuy đúng nhưng lời giải trên chưa chính xác, việc lập luận dm song song P là sai, đây chỉ là điều kiện cần. Lời giải đúng dm song song P Điều kiện =0 m=- . Mặt khác khi m=- thì dm có phương trình , mọi điểm A0 ;1 ;a của đường thẳng này đều không nằm trong P nên điều kiện được thoả mãn.. Đáp số m=- Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1,d2 lần lượt có phương trình là . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1,d2 . Giải d1 có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm A2 ;-4 ;0 d2 có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm B6 ;10 ;-8 Gọi P là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 P có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm A2 ;-4 ;0 nên có phương trình là x-2-y+4+2z=0 x-y+2z-6=0 Gọi Q là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1 Q có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm B6 ;10 ;-8 nên có phương trình là -x-6+2y-10+z+8=0 x-2y-z+6=0 Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 , ta có d=P Q nên d có phương trình là Nhận xét Lời giải trên hoàn toàn sai lầm khi cho rằng P là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 P có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm A, Q là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1 Q có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm B. Điều này chỉ đúng khi d1 d2., thực tế mp P vuông góc với d2 và d1 cắt P tại A, mp Q vuông góc với d1 và d2 cắt Q tại B. Lời giải đúng Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 ; M= d1 d ;N= d2 d. Vì M d1 , N d2 nên M2-t1 ;2t1-4;t1, Nt2+6 ; 10-t2 ;2t2-8. Vì M0 ;0 ;2, N10 ;6 ;0 d có phương trình là Sai lầm không xét hết các trường hợp của bài toán Ví dụ 6 Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A=0,3 và tạo với đường thẳng d x-y =0 một góc 450. Giải Giả sử D có hệ số góc k, qua A=0,3 nên có dạng y =kx+3 Û kx-y+3=0. D có vectơ chỉ phương D=1,k, d có chỉ phương d=1,1. Vì góc giữa hai đường thẳng là 450 nên ta có cosd,D=cos d, D Û Þ phương trình D y-3=0. Nhận xét Ta dễ thấy thiếu trường hợp D x = 0. Vậy sai lầm ở đâu? Đã xét chưa hết các trường hợp của đường thẳng D, trường hợp D không có hệ số góc và qua A=0,3 là x=0 thoả mãn bài toán. Nhưng nếu xét hai trường hợp của D như vậy trong trường hợp tổng quát là phức tạp, vì việc kiểm tra góc giữa hai đường thẳng không đơn giản như trường hợp trên. Ta có thể giải bài toán tổng quát hơn như sau Giả sử D có vectơ chỉ phương D=m,n, với m2+n2 ¹0. Ta có cosd,D=cos d, DÛ - Chọn m=1, n=0 có D y-3=0 - Chọn m=0, n=1 có D x=0 Ví dụ 7 Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn C x2+y2-4x-2y-4=0 qua điểm A=5,0. Giải Đường tròn C có dạng chính tắc x-22+y-12=9Þ Tâm I=2,1, R=3. Giả sử tiếp tuyến D có hệ số góc k, qua A= 5,0 nên có dạng y=kx-5 Û Û kx-y-5k=0. Để tiếp xúc C thì dI,D=R Û Û k=4/3 Þ Phương trình D 4x-3y-20=0. Nhận xét Cũng tương tự bài trên, không xét hết các dạng của D. Lời giải đúng Cách 1 Ta thấy IA2=10>9=R2ÞA ngoài C, nên có 2 tiếp tuyến qua A đến C. Làm như trên được D1 4x-3y-20=0, do nhận xét trên tiếp tuyến thứ hai qua A không có hệ số góc là D2 x=5. Cách 2 Tổng quát - Trường hợp D có dạng x=x0 Û x-x0=0, qua A x-5=0 Để tiếp xúc C thì dI,D=R Û 5-2=3, đúng Þ x-5= là tiếp tuyến - Trường hợp D có hệ số góc k làm như trên. Ví dụ 8 Cho hai điểm A=0,0 và B=1,2, đường thẳng d x-y+2=0. Tìm điểm C trên d sao cho DABC vuông. Giải Nhiều học sinh khi giải bài toán này đã không xét hết các trường hợp. Chẳng hạn chỉ xét vuông tại C. d có dạng tham số là x=t, y=t+2. Điểm CÎd nên C=t,t+2. Để tam giác vuông tại C thì Û 0-t1-t+0-t-22-t-2=0 Û 2t2+t=0 Û t=0 hoặc t=-1/2 Þ Có hai điểm C thoả mãn là C=0,2 và C=-1/2,3/2. Nhận xét Thiếu các trường hợp vuông tại A và B Lời giải đúng Xét các trường hợp - Tam giác vuông ở C Làm như trên. - Tam giác vuông ở A Û 1-0t-0+2-0t+2-0=0 Û t=-4/3 Þ C=-4/3,2/3. - Tam giác vuông tại B Û 0-1t-1+0-2t+2-2=0 Û t=1/3 Þ C=1/3,5/3. Ví dụ 9 Cho hai điểm A=4;5 và B=-2;-7, đường thẳng d 3x-y-4=0. Tìm điểm M trên d sao cho DMAB cân. Giải Gọi Mx;y là điểm cần tìm. M d 3x-y-4=0 y=3x-4 Mx;3x-4. DMAB cân tại M khi MA=MB MA2=MB2 4-x2+9-3x2=-2-x2+-3-3x2 84x=84 x=1 M1;-1 Nhận xét lời giải trên vừa thiếu, vừa sai. Bài toán yêu cầu tìm M d để DMAB cân. Phải xét ba trường hợp DMAB cân lần lượt tại đỉnh M, A, B. Ngay trong trường hợp DMAB cân tại đỉnh M thì MA=MB mới chỉ là điều kiện, chứ chưa đủ. Thấy ngay điểm M 1;1 chính là trung điểm của AB nên không thoả mãn bài toán. Ví dụ 10 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm P3 ;0 và hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình là 2x-y-2=0 ; x+y+3=0. Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1,d2 lần lượt ở A và B. Viết phương trình đường thẳng d biết PA=PB. GiảiGỉa sử Ax1 ;y1, Bx2 ;y2, do A d1, B d2 nên y1=2x1-2, y2= x2 -2. Vì PA=PB và A, B, C thẳng hàng nên P là trung điểm của AB Suy ra A , B , từ đó có phương trình đường thẳng cần tìm là y=8x-3. Nhận xét Lời giaỉ trên đã bỏ sót nghiệm, thực ra còn có đường thẳng nữa có phương trình là 4x-5y-12=0. Nguyên nhân sót nghiệm là ở điều kiện PA=PB và A, B, C thẳng hàng suy ra được suy ra được P là trung điểm của AB hoặc A B. Trường hợp A B ta có đường thẳng 4x-5y-12=0. Sai lầm không thử lại kết quả Ví dụ 11 Trong không gian với hệ tọa độ oxy, cho mặt cầu S có phương trình x2+y2+z2-4x-4y+2z-16=0 đường thẳng d1 và đường thẳng d2 . Hãy viết phương trình mặt phẳng P song song với d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng 3. Giải + S có tâm I2 ;2 ;-1 bán kính R=5 ; + d1 có vectơ chỉ phương là và d2 có vectơ chỉ phương là + có + P song song với d1, d2 nên nhận làm vectơ pháp tuyến. + Do đó phương trình P có dạng 2x+y-2z+D=0 + Theo giả thiết ta có + Với D=1=> P1 2x+y-2z+1=0 + Với D=-17=> P2 2x+y-2z-17=0 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x +y-2z+1=0 và 2x+y-2z-17=0 * Sai lầm ở đâu Đáp số sai, chỉ tồn tại một mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng P1 không song song với đường thẳng d1 nên bị loại, còn P1 song song ciwus cả 2 đường thẳng d1 và d2 nên là mặt phẳng cần tìm. - Nguyên nhân sai vì không thử lại để xem mặt phẳng tìm được có song song với hai đường thẳng đã cho không. * Thử lại như thế nào Ta có P hoặc song song hoặc chứa d1, d2 nên để kiểm tra ta chỉ cần lấy 1 điểm thuộc mỗi đường thẳng và thay vào phương trình mặt phẳng P thì P chứa đường thẳng tương ứng, ngược lại là song song. Cụ thể, ta có M11;-1;1 d1 và M23;0;-1 d2 Thử lại + M1 P1 nên P1 không thõa mãn. + M2 P2 d1// P2; M2 P2=> d2// P2 nên P2 thõa mãn. Sai lầm khi định dạng các hình do nắm tính chất hình không vững Ví dụ 12 Cho 3 điểm A=1,3, B=-1,1, C=4,6. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành? Giải Giả sử D=x,y. Để ABCD là hình bình hành ta cần có . Vậy D=6,8. Nhận xét Nhìn về cách giải có vẻ như không sai lầm chỗ nào! Nhưng đây cũng chính là chỗ học sinh dễ sai nhất, đặc biệt là trong hình không gian sau này. Ta đã biết tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AD//BC và AD=BC. Như vậy đẳng thức vectơ trên chưa loại được trường hợp AD≡BC. Lời giải đúng Chỉ cần kiểm tra thêm 3 trong 4 điểm không thẳng hàng cho bài toán tổng quát toạ độ chứa tham số Còn đối với bài trên, dễ thấy là 2 vectơ cùng phương và chung điểm A nên A,B,C thẳng hàng Þ Không tồn tại D để ABCD là hình bình hành. Ví dụ 13 Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A2 ;3 ;-1, B0 ;-2 ;5 , C1 ;4 ;2 . Xét các điểm D có toạ độ Dm ;1-m ;1-5m, tìm giá trị m để A,B,C,D lập thành một tứ giác. Giải Ta có . Khi đó ABCD lập thành một tứ giác đồng phẳng -21m-2-72-5m=0 3m-6+2-5m=0 2m=4 m=-2 Vậy với m=-2 thì D-2;7;11 thoả mãn điều kiện A,B,C,D lập thành một tứ giác. Nhận xét Lời giải kết luận m=-2 A,B,C,D lập thành một tứ giác là hoàn toàn sai lầm. Việc lập luận A,B,C,D lập thành một tứ giác đồng phẳng là không chính xác, đây chỉ là điều kiện cần. Vì nếu A,B,C hoặc A,D,C thẳng hàng thì các véc tơ vẫn đồng phẳng nhưng 4 điểm A,B,C,D không lập thành một tứ giác Có thể giải lại bài toán như sau Ta có A,B,C,D lập thành một tứ giác đồng phẳng và trong 4 điểm A,B,C,D không có 3 điểm nàothẳng hàng. Vì vậy không có giá trị nào thoả mãn bài ra. Sai lầm khi sử dụng lời giải không chính xác Ví dụ 14 Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho mặt phẳng P x+y+z+2=0 và đường thẳng d . Tìm tọa độ giao điểm M của d và P. Giải Đường thẳng d có phương trình tham số Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ Suy ra M1;-3;0 là điểm cần tìm. * Sai ở đâu? Sai ở chỗ lời giải viết rằng “tọa độ điểm M là nghiệm của hệ * thì các phương trình thứ 2, 3, 4 chưa thõa mãn, cụ thể là Do đó không thể nói tọa độ của M là nghiệm của hệ * được. BÀI TẬP 1 Cho với viết phương trình đường phân giác góc trong của góc A. 2 Cho ba điểm A4;-1, B-3,2; C1;6. Tính góc giữa 2 đường thẳng AB, AC. 3 Cho ba điểm A3;0, B-5;4, P10;2. Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B. 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua A0;1 và tạo với đường thẳng d x+2y+3=0 một góc 450. 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng P 2x+y-2z+9=0. Tìm tọa độ giao điểm của d và P. 6 Xác định góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng P 3x+y+1=0. 7 Cho hai đường thẳng và viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với . 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;1;0 và hai đường thẳng d1 và d2 . Viết phương trình mặt phẳng P song song với d1 và d2 đồng thời cách M một khoảng bằng . 9 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng y+z+4=0. Viết phương trình mặt phẳng biết rằng vuông góc với , song song với và . 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S, 2 đường thẳng d1 và d2 có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng P song song với d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng 3. 3. KẾT LUẬN Kết quả thực nghiệm Kết quả kiểm tra Lớp Sĩ số Điểm TB 5 đến 6,4 Điểm khá 6,5 đến 7,9 Điểm giỏi từ 8 trở lên Đạt yêu cầu SL % SL % SL % SL % 10A5 47 22 44,44 12 26,67 8 17,78 40 88,89 12A6 48 23 40,0 15 33,33 6 13,33 39 86,67 Kết quả chung Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy khối 10, khối 12 và luyện thi đại học trong trong hai năm gần đây. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh. Kết luận Sau một thời gian nghiên cứu và được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của đồng nghiệp đề tài hoàn thành với một số ưu nhược điểm sau Ưu điểm - Sáng kiến đã đạt được những yêu cầu đặt ra ở phần đặt vấn đề. - Tìm hiểu và đưa ra hệ thống bài tập tương đối đầy đủ có lời giải chi tiết. - Phần lớn bài tập đưa ra phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh khá - giỏi THPT. Bên cạnh đó đề tài đưa ra bài tập khó dành cho học sinh giỏi. - Giúp học sinh có những bài tập tương tự để phát triển tư duy. Nhược điểm - Hệ thống bài tập chưa phong phú. - Có những lời giải đưa ra vẫn còn dài chưa thật ngắn gọn. Hướng phát triển - Do thời gian thực hiện đề tài có hạn nên tôi chỉ giới hạn trong hệ thống bài tập - Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng hơn. - Đưa ra các lời giải ngắn gọn hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 10 – NXB Giáo Dục 2/ Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 12 – NXB Giáo Dục 3/ Tuyển tập các đề thi TSĐH từ năm 2002 đến năm 2013 4/ Sai lầm thường gặp khi giải toán- NXB Giáo Dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 03 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Lê Thị Thủy Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia THPTQG. Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Kỳ thi quốc gia 2019 được tổ chức với 2 mục đích xét tốt nghiệp THPT và xét vào đại học, cao đẳng. Đề thi năm 2019, môn Toán thời gian làm bài 90 phút với 50 câu trắc nghiệm, nội dung nằm trong chương trình Toán THPT mà chủ yếu lớp 12. Năm 2019 là năm thứ 3 môn Toán được thi bằng hình thức trắc nghiệm khách quan 100%, tuy nhiên đề thi năm 2018, môn Toán được đánh giá là quá khó, nên không phản ánh đầy đủ lực học của học sinh. Đề thi năm 2019, theo thông tin của Bộ, là sẽ nhẹ nhàng hơn, dĩ nhiên phương án nhiễu sẽ tốt hơn. Bởi vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên phải có phải chú ý rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng làm bài trắc nghiệm môn Toán. Trong các tiết giảng dạy hàng ngày cần dành thời gian để kiểm tra việc nắm kiến thức cơ bản, kỹ năng của từng bài theo yêu cầu của chương trình qua việc chuẩn bị thật nhiều các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm kiểm tra lý thuyết lẫn bài tập để khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời phân tích cho học sinh thấy những sai sót cần tránh và phân tích rõ cách làm bài trắc nghiệm sao cho hợp lý. Tài liệu tham khảo trên thị trường tràn lan, nhiều về số lượng mà không đảm bảo chất lượng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những những kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán từ đó tự mình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán nâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quả của đồng nghiệp đi trước và trong thực tế của quá trình giảng dạy, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là “ MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LỚP 12”. Bạn đang xem Những sai lầm thường gặp khi giải toán thptBạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "SKKN Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán trắc nghiệm lớp 12", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên A. MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài. Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia THPTQG. Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Kỳ thi quốc gia 2019 được tổ chức với 2 mục đích xét tốt nghiệp THPT và xét vào đại học, cao đẳng. Đề thi năm 2019, môn Toán thời gian làm bài 90 phút với 50 câu trắc nghiệm, nội dung nằm trong chương trình Toán THPT mà chủ yếu lớp 12. Năm 2019 là năm thứ 3 môn Toán được thi bằng hình thức trắc nghiệm khách quan 100%, tuy nhiên đề thi năm 2018, môn Toán được đánh giá là quá khó, nên không phản ánh đầy đủ lực học của học sinh. Đề thi năm 2019, theo thông tin của Bộ, là sẽ nhẹ nhàng hơn, dĩ nhiên phương án nhiễu sẽ tốt hơn. Bởi vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên phải có phải chú ý rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng làm bài trắc nghiệm môn Toán. Trong các tiết giảng dạy hàng ngày cần dành thời gian để kiểm tra việc nắm kiến thức cơ bản, kỹ năng của từng bài theo yêu cầu của chương trình qua việc chuẩn bị thật nhiều các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm kiểm tra lý thuyết lẫn bài tập để khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời phân tích cho học sinh thấy những sai sót cần tránh và phân tích rõ cách làm bài trắc nghiệm sao cho hợp lý. Tài liệu tham khảo trên thị trường tràn lan, nhiều về số lượng mà không đảm bảo chất lượng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những những kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán từ đó tự mình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán nâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quả của đồng nghiệp đi trước và trong thực tế của quá trình giảng dạy, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là “ MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LỚP 12”.2. Mục đích nghiên tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và phương pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập, từ đó - Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán và cách khắc Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo. Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó mà thấy say mê môn Toán hơn. Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt cho học sinh trong học tập và nghiên Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu Đối tượng nghiên cứu. - Lựa chọn các ví dụ ,các bài tập cụ thể và chỉ ra những sai lầm của học sinh khi vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài Phương pháp nghiên Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề pháp điều tra thực tế+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan. + Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai thác các bài toán có nội dung thực Phương pháp thực nghiệm sư phạmSử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề ra. B. NỘI DUNG1. Cơ sở lí đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự và bồi dưỡng thêm về mặt tư duy cho bản thân mỗi người. Các kiến thức căn bản về Toán học cấp THPT, ít nhiều học sinh cũng đã được học từ bậc THCS, những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù ở câu mức độ nhận biết hay thông hiểu thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm, mà quên mất các thao tác quen thuộc phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tínhVì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời Thực học 2018-2019 Bộ giáo dục và đào tạo tiếp tục đổi mới thi THPT Quốc gia. Để giúp học sinh đạt được kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia 2019, giáo viên cần phải tích cực đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá theo định hướng phát triển năng lực của học sinh. Môn Toán thi trắc nghiệm 100% 50 câu, thời gian 90 phút . Để làm được bài thi học sinh phải nắm thật vững kiến thức cơ bản và các kỹ năng cơ bản qui định trong chương trình. Giáo viên phải có ý thức dạy kỹ và sâu kiến thức từng bài học, rèn luyện thật chắc những kỹ năng theo yêu cầu của bài học, bên cạnh đó phải giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, làm việc có kế hoạch và biết hệ thống hóa kiến thức từng bài học. Thực tế trong kì thi quốc gia 2018 cho thấy rất nhiều em học sinh chỉ đạt điểm từ 1,0 đến 3,0 điểm, mặc dù 50% các câu thuộc mức độ nhận biết- thông hiểu trong đề thi không khó, nguyên nhân là do các em vẫn ""dính bẫy"" của phương án nhiễu. 3. Các giải pháp. Trong mỗi câu hỏi trắc nghiệm thường gặp hiện nay, có 4 phương án gồm 1 phương án đúng và 3 phương án nhiễu. Phương án nhiễu thường được xây dựng dựa trên các sai lầm của học sinh. Vì vậy, học sinh phải nắm chắc kiến thức mới có thể quyết định chọn phương án nào trong một thời gian rất ngắn. Sau đây tôi sẽ trình bày một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải toán trắc nghiệm . Nhầm lẫn các loại điều kiện, các khái niệm Ví dụ 1 Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như saux 0 4y’+ 0 0+y 5 Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm dưới đây?A. B. C. D. Phân tích phương án án A Sai do HS nhầm với giá trị cực tiểu của hàm án B Sai do HS nhầm với giá trị cực đại của hàm án C Sai do HS nhầm với điểm cực tiểu của hàm sốLời giải đúng Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại hàm số đạt cực tiểu tại Do đó phương án đúng là ý Nếu hàm số fx đạt cực đại cực tiểu tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại điểm cực tiểu của hàm số; fx0 được gọi là giá trị cực đại giá trị cực tiểu của hàm số, kí hiệu là fCD fCT, còn điểm được gọi là điểm cực đại điểm cực tiểu của đồ thị hàm dụ 2 Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?A. B. C. D. Phân tích phương án án A Sai do HS hiểu rằng Nhưng thực chất và nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận án B Sai do HS hiểu rằng Nhưng thực chất nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận án C Sai do HS hiểu rằng Nhưng thực chất nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận giải đúng Ta có nên đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Chọn DChú ý Cho hàm số y = fx xác định trên một khoảng vô hạn là khoảng hoặc . Đường thẳng là đường tiệm cận ngang hay tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãnVí dụ 3 Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?A. B. C. D. Phân tích phương án án A Sai do HS hiểu rằng Nhưng thực chất trên đoạn thì nên một nguyên hàm của là Phương án B Sai do HS hiểu rằng vì HS hiểu rằng . Nhưng thực chất nên Phương án D Sai do HS nhớ nhầm rằng Cũng có thể học sinh chọn do nghĩ đề bài yêu cầu chọn phương án giải đúng Ta có Hơn nữa trên đoạn thì x 0 và giải phương trình có 2 kết quả là không thỏa mãn x > 0 và x = 1 thì chọn phương án B. Tuy nhiên, x = 1 không thỏa mãn điều kiện mẫu số khác 0. Vì vậy phải chọn phương án dụ 13 Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực đại tại .A. . B. . C. . D. .Phương án đúng là C Hàm số có và . Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại là Thử lại với thì nên hàm số không đạt cực đại tại Với thì nên hàm số đạt cực đại tại Vậy giá trị cần tìm là Phương án nhiễu A Học sinh chỉ sử dụng điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại là mà không dùng điều kiện đủ để kiểm tra án nhiễu B, D Học sinh không biết cách giải quyết nên chọn dụ 14 Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình mặt phẳng và cách điểm một khoảng bằng lày + z – 2 = 0; hoặc y – z + 2 = 0. hoặc y + z – 2 = ví dụ này học sinh thường có hướng giải theo phương trình mặt phẳng theo mặt chắn. Gọi giao điểm của mặt phẳng P với trục Ox là điểm Aa;0;0. Phương trình mặt phẳng P có dạng . Theo giả thiết . Phương trình mặt phẳng P là .Khi giải đến đây học sinh thường mắc sai lầm lựa chọn phương án B mà quên mất một trường hợp nữa là mặt phẳng P có thể không được viết dưới dạng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn. Ở đây học sinh cần phải xét thêm một trường hợp nữa là POx. Khi đó, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P được tính . Ta lập được phương trình mặt phẳng P theo trường hợp này là y + z – 2 = 0. Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán nên phương án đúng là dụ 15 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình có hai nghiệm? A. 4. C. 5. D. giải đúngPhương trình đã cho tương đương với . 1Đặt , khi đó phương trình trở thành. 2Nhận xét+ Ta có ;+ Với mỗi , ta giải ra được hai nghiệm , riêng , ta giải được một nghiệm .Do đó, để 1 có hai nghiệm khi và chỉ khi 2 có đúng một nghiệm , nghiệm còn lại nếu nếu có phải nhỏ hơn 1. Dùng bảng biến thiên ta giải được hoặc , suy ra có 5 giá trị thỏa đề bài, chọn tích phương án nhiễuPhương án D HS chỉ hiểu đơn giản để 1 có hai nghiệm 2 có hai nghiệm ;Phương án A biết đến điều kiện nhưng chưa nắm được quan hệ giữa số nghiệm và số nghiệm ;Phương án B giống phương án A nhưng điều kiện .Ví dụ 16 Số nghiệm thực của phương trình làA. có hệ số 2 ở vế trái nên học sinh có thể nghĩ ngay đến công thức khi x dương, học sinh biến đổi về Giá trị này không thỏa mãn điều kiện để có thể thực hiện được công thức học sinh có thể kết luận phương trình đã cho vô lầm ở đây là học sinh đưa ra điều kiện mới x > 0 để biến đổi và làm mất nghiệm. Lời giải đúng như sauChọn B. Học sinh cần phải cảnh giác với những biến đổi dẫn đến phương trình mới có tập xác định khác tập xác định của phương trình ban dụ 17 Cho a là một số thực dương và b là một số nguyên, . Hỏi có bao nhiêu cặp số thỏa mãn điều kiện ?A. 198B. 199C. 398D. 399Lời giải sai , tức là bỏ mất trường hợp , từ đó dẫn đến chọn đáp án giải đúng Ta có .Do a là số thực dương nên với mỗi số nguyên b thỏa mãn điều kiện thì sẽ tạo ra một cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bàiDo vậy có cặp. Vậy ta chọn CVí dụ 18 Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực trị tại điểm .hoặc ...Đáp án khác;Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án B và phương án hàm của hàm số .Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x = -2 là y’-2 = giải đến đây học sinh vội vàng lựa chọn phương án B mà quên mất việc xét điều kiện đủ để làm số đạt cực trị tại .Điều kiện đủ+ Với thì . Bởi vậy hàm số nghịch biến trên nên không có cực trị.+ Với thì và .Khi đó hàm số đạt cực đại tại .Vậy thì hàm số đạt cực trị tại . Chọn phương án Biến đổi sai biểu thức hoặc tính toán saiVí dụ 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng . Đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng AB và d thì có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong các vectơ dưới đây?A. .B. .C. .D. .Lời giải đúng Ta có và đường thẳng có vectơ chỉ phương là Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Chọn BChú ý Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng và có vtcp lần lượt là . Lúc này đường thẳng có vtcp . Phân tích phương án án A Sai do HS tính sai do sắp xếp sai thứ tự trong công thức tính tích có hướng của hai án C Sai do HS xác định sai vectơ chỉ phương của nên tính sai tọa độ vectơ chỉ phương của . Cụ thể là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra nhận vectơ làm một vectơ chỉ án D Sai do HS xác định sai tọa độ của vecto nên tính sai tọa độ vectơ chỉ phương của . Cụ thể nhận vecto làm một vectơ chỉ dụ 20 Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số xác định trên .A. giải Hàm số xác định trên khi và chỉ khiSuy ra các giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán là . Vậy số 9 có giá trị nguyên tham số .Xem thêm Đề 5 Em Hãy Giải Thích Câu Nói Học, Học Nữa, Học Mãi Hay Nhất Chọn APhân tích phương án án B Sai do HS tính sai biệt thức nên tìm được 5 giá trị .Phương án C Sai do HS đếm sai. Cụ thể là có 5 số nguyên thuộc , khoảng là khoảng đối xứng nên trong khoảng có 10 số án D Sai do HS giải sai như phương án B nhưng đếm sai như phương án ý Tập xá

những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt